domingo, 7 de abril de 2013

Utilizas funciones periódicas


Función trigonométrica


Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
FunciónAbreviaturaEquivalencias (en radianes)
Senosin (sen) \sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,
Cosenocos\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,
Tangentetan\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,
Cotangentectg (cot)\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,
Secantesec\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,
Cosecantecsc (cosec)\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,
Funciones circulares

Las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x,  y  csc x.

Definición:  Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definen como:
                                                                     y

                        

                                                                              P(X) = (a,b)

                                                                                               x
                                                             



                                                      


Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos:



Ejemplos para discusión:  Evaluar las seis funciones trigonométricas para:

1) P(0) :  P(0) = (1, 0), donde a = 1  y  b = 0

    


    
       


      
 FORMAS SENOIDALES 

Funciones periódicas 

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)
Período
La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:
sen (x + 2π) = sen x
tanfente
La función f(x) = tg x es periódica de periodo π, ya que cumple que:
tg (x + π) = tg x
mantisa
La función mantisa, f(x) = x - E(x), es periódica de periodo 1.
Frecuencia:
La frecuencia es el número de veces que una masa vibratoria o señal eléctrica repite un ciclo, de positivo a negativo (amplitud).
El desplazamiento completo de una onda, que corresponde a un giro de 360º en una circunferencia, se conoce como ciclo.
La frecuencia se mide en herzios (Hz), siendo su valor el número de veces que se repiten en un segundo.
1 Hz = 1 ciclo / 1 segundo
Amplitud de onda:
La distancia por encina o por debajo de la línea central de una forma de onda representa la amplitud de la señal. Cuanto mayor es la distancia, mayor será la variación de presión o la señal eléctrica.
La amplitud puede medirse usando varios estándares. Los máximos positivos y negativos de uina onda se conocen como valor de pico, y la distancia entre el pico negativo y positivo se conoce como valor pico a pico.
El valor medio eficaz (root meant square o RMS) se usa como vaor medio más significativo entre amos, y es el que se aproxima más al nivel percibido por nuestros oidos.
En una onda sinusoidal, el valor RMS se calvula elevando al cuadrado la amplitud de la onda en cada punto y es 0.707 veces el valor de pico. Al ser el cuadrado de un número el valor RMS siempre será un valor positivo.
Período T: Es el tiempo que transcurre hasta que la función comienza a repetirse.

Utilizas funciones exponenciales y logaritmicas


La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde ees el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivadaes la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
siendo aK ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots
o como el límite de la sucesión:
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
función
función
log
xlog
1/8-3
1/4-2
1/2-1
10
21
42
83
Logarithmic Function
log
xLogarithmic Functions
1/83
1/42
1/21
10
2−1
4−2
8−3
Logarithmic Function
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
base negativa
No existe el logaritmo de un número negativo.

negativo
No existe el logaritmo de cero.
cero
El logaritmo de 1 es cero.
uno
El logaritmo en base a de a es uno.
base a de a
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
potencia

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
  • Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta ae)
  •  \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
  •  \exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,
  • \exp(-x) = {1 \over \exp(x)}
  •  \exp(0) = 1 \,

Propiedades de los logaritmos

1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
producto
Producto
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
cociente
Cociente
3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
potencia
potencia
4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
raíz
raíz
5Cambio de base:
Cambio de base
Cambio de base